Vibração de coluna: stick-slip, whirl e fadiga por dogleg

Axial e torsional são resolvidos como o mesmo tipo de problema: uma cadeia massa-mola discretizada por elementos finitos, com rigidez de elemento E·A/L no eixo axial e G·J/L no torsional, massa concentrada nos nós, e condição de contorno engastada-livre — topo preso na mesa rotativa, broca livre na outra ponta. O autoproblema generalizado K·φ = ω²·M·φ devolve as frequências naturais fₙ do sistema.

Cada frequência natural vira uma faixa de RPM a evitar: RPM = 60·fₙ/ordem, para cada ordem harmônica relevante. Rodar sustentadamente numa dessas faixas é o equivalente mecânico de bater a mesma nota num diapasão — a amplitude cresce a cada ciclo até algo ceder, tipicamente uma conexão ou o BHA.

O modelo de Richard-Germay-Detournay (RGD) acopla dois graus de liberdade — axial e torsional — por uma única via: a lei broca-rocha de Detournay-Defourny, que separa o peso e o torque na broca em componente de corte (proporcional à profundidade de corte, portanto rate-independent) e componente de atrito no wearflat.

A origem da auto-excitação é um atraso de estado: a profundidade de corte no instante t depende da posição angular da broca uma revolução atrás, t−tₙ. Esse atraso regenerativo é o que transforma um corte que, isoladamente, não depende de velocidade num comportamento que parece velocity-weakening — a broca desacelera, quase para, e depois solta com um salto de velocidade angular, o padrão clássico de stick-slip visto em torque de superfície.

A perda de contato broca-rocha durante a fase de aceleração (bit-bounce) e a energia específica mecânica (MSE de Teale) fecham o quadro: MSE alta com torque oscilando em ciclo de baixa frequência é a assinatura de stick-slip severo, distinta de uma MSE alta constante, que aponta para broca desgastada.

A vibração lateral trata o BHA como viga de Euler-Bernoulli com dois graus de liberdade por nó (deflexão e rotação), com massa consistente em vez de concentrada — a diferença importa porque a rigidez geométrica induzida pelo peso na broca comprime o BHA inferior e reduz a frequência e a rotação crítica lateral. Os apoios ficam na broca, nos estabilizadores e no topo do vão analisado, e o side-force resultante — cuja direção diz se a tendência é build (fulcrum, empurrando o lado alto) ou drop (pêndulo, empurrando o lado baixo) — alimenta o modelo de Warren de penetração lateral para estimar o dogleg severity instantâneo.

Esse mesmo side-force acopla direção e vibração: o BHA que constrói ângulo mais rápido é, tipicamente, o que também acumula mais fadiga por flexão nas transições de curvatura, porque é ali que a rigidez geométrica muda mais depressa.

A fadiga combina a tensão de von Mises do histórico axial e torsional (contada por Rainflow, corrigida por Goodman) com a flexão rotativa induzida pelo dogleg — mecanismo de Lubinski, no qual o tubo se curva em torno do dogleg e cada rotação de superfície aplica um ciclo completo de tração e compressão na fibra externa. O dano acumula por Palmgren-Miner até D = 1, e é essa componente de dogleg, somada à tração axial estática, que costuma dominar a vida em fadiga de drill pipe em trechos curvos — não a torção.